zaeto.ru

Кривизна и кручение кривой. Репер Френе

Другое
Экономика
Финансы
Маркетинг
Астрономия
География
Туризм
Биология
История
Информатика
Культура
Математика
Физика
Философия
Химия
Банк
Право
Военное дело
Бухгалтерия
Журналистика
Спорт
Психология
Литература
Музыка
Медицина
добавить свой файл
 

 
страница 1


§4. Кривизна и кручение кривой. Репер Френе.

Пусть - гладкая кривая, - натуральный параметр. Будем строить репер тесно






связанный со свойствами данной кривой.

Вектор - единичный вектор касательной в точке . На всей кривой получим вектор-функцию .

Вектор называется вектором кривизны в точке .

называется кривизной кривой в точке . На всей кривой является функцией параметра . Итак, .

Теорема. Гладкая линия является прямой или её частью тогда и только тогда, когда .

Ÿ ) Пусть - прямая или ее часть. Тогда где - единичный направляющий вектор прямой, - натуральный параметр. Найдем .



) Пусть дана кривая и . Тогда . Решаем эту систему дифференциальных уравнений: где - некоторые константы. Далее, - некоторые константы, . Это параметрические уравнения прямой или ее части. Ÿ
Далее будем рассматривать кривые , у которых кривизна . Строим репер дальше. Прямая называется главной нормалью кривой в точке М. Вектор называется единичным вектором главной нормали. Тогда или .
Вектор называется единичным вектором бинормали. Это название оправдано тем, что и по определению векторного произведения векторов. Прямая называется бинормалью.

Итак, в произвольной точке М ивой мы получили правый ортонормированный репер , который называется каноническим репером в точке М или подвижным репером. Координатные плоскости этого репера называются: - соприкасающаяся плоскость, - нормальная плоскость, - спрямляющая плоскость.


Найдем соотношения между векторами подвижного репера и их производными.
Мы знаем, что . Тогда по лемме §1 вектор раскладывается только по векторам подвижного репера: . Найдем коэффициент . Продифференцируем тождество . Тогда . Подставим выражения для производных: (Здесь мы использовали, что ). Таким образом, и . Нам осталось найти . Продифференцируем тождество : .

Итак, мы получили три тождества , , . Они называются формулами .Френе. Число , определенное в каждой точке М кривой, называется кручением кривой в этой точке. При изменении точки на кривой число изменяется и мы получаем функцию .


Найдем формулы для вычисления кривизны и кручения для кривой, заданной в натуральной параметризации .

  1. Как мы видели выше .

  2. Найдем формулу для кручения . Продифференцируем первую формулу Френе . Тогда . Вычислим смешанное произведение . Откуда получаем .

Выведем формулы для вычисления кривизны и кручения кривой, заданной в произвольной параметризации. Пусть - гладкая кривая. Рассмотрим замену параметра . Тогда - параметрические уравнения кривой в натуральной параметризации. Найдем



. Откуда и .

Тогда . Нам осталось вывести формулу для вычисления кручения.



. Вычислим .
Замечание. Для данной кривой векторы задают определенные вектор-функции длины дуги кривой . Так как и , имея кривую , мы получаем определенные функции . Эти уравнения называются натуральными уравнениями кривой. Имеют место теоремы

Теорема (существования). Пусть две гладкие функции, причем функция неотрицательна и не равна тождественно нулю. Тогда существует кривая, для которой будет длиной дуги, - кривизной, - кручением.

Теорема (единственности). Натуральные уравнения определяют кривую однозначно с точностью до положения в пространстве.

Другими словами, если нам известны функции и , то путем интегрирования системы уравнений Френе, мы можем найти параметрические уравнения кривой, для которой эти функции будут, соответственно, кривизной и кручением. При этом все решения уравнений Френе, соответствующие различным значениям постоянных интегрирования, суть конгруэнтные кривые.


Пример. Рассмотрим обыкновенную винтовую линию. Она получается как траектория движения точки , равномерно вращающейся вокруг данной прямой и равномерно перемещающейся вдоль этой прямой. В качестве данной прямой возьмем ось .




Найдем закон движения точки М. Пусть в момент времени она занимает положение , Р – ортогональная проекция точки М на плоскость . Когда М вращается вокруг , точка Р равномерно вращается по окружности в плоскости . Пусть в начале движения , . Так как движение равномерное, пропорционален времени движения. Для простоты возьмем коэффициент пропорциональности равным 1. Тогда .

Так как М равномерно движется вокруг оси , ее смещение вдоль пропорционально времени , то есть .

Итак, М движется по закону .

Очевидно, это гладкая линия. Действительно, для ее координатных функций существуют непрерывные частные производные любого порядка и выполняется условие регулярности , .

Изучим свойства обыкновенной винтовой линии.


  1. Из первых двух уравнений следует, что для любой точки кривой, следовательно, кривая лежит на прямом круговом цилиндре.

  2. Найдем подвижной репер, кривизну и кручение винтовой линии.

. Найдем угол между прямолинейной образующей МР и вектором . Вычислим . Итак, винтовая линия пересекает прямолинейные образующие под постоянным углом. Найдем из первого уравнения Френе . Вычислим . Так как и - единичный вектор, из последнего равенства получим и .

Рассмотрим вектор . Откуда получаем, что главная нормаль перпендикулярна оси цилиндра.

Вычислим .

Действительно, , . Итак, кручение постоянно и его знак совпадает со знаком константы . 



Замечание. Обыкновенная винтовая линия является частным случаем достаточно широкого класса линий, которые называются кривыми Бертрана.

Определение. Гладкая кривая называется кривой Бертрана, если для нее существует другая гладкая кривая и отображение , что в каждой паре соответствующих точек и имеют общую главную нормаль.

Свойства кривых Бертрана будут подробно рассмотрены на семинаре.
страница 1


Смотрите также:





     

скачать файл




 



 

 
 

 

 
   E-mail:
   © zaeto.ru, 2018