zaeto.ru

Решения планиметрических задач (часть С) из «Универсальных материалов для подготовки учащихся»

Другое
Экономика
Финансы
Маркетинг
Астрономия
География
Туризм
Биология
История
Информатика
Культура
Математика
Физика
Философия
Химия
Банк
Право
Военное дело
Бухгалтерия
Журналистика
Спорт
Психология
Литература
Музыка
Медицина
добавить свой файл
 

 
страница 1


Методы решения планиметрических задач
Решения планиметрических задач (часть С) из «Универсальных материалов для подготовки учащихся» (Высоцкий И. Р. и др. под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко Единый государственный экзамен -2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. ФИПИ — М: Интеллект-Центр, 2010)

№№

Задача

Рисунок

Указания к решению


1.

Около трапеции ABCD описана окружность радиуса 6 с центром на основании AD. Найдите площадь трапеции, если основание ВС равно 4.




Метод последовательных вычислений

Вопросы: Каков вид треугольника ACD? Как связаны CH (высота) и отрезки AH и HD?

Угол АСD прямой, т.к. опирается на диаметр. СН – высота прямоугольного треугольника. Длину СН можно найти как среднее геометрическое отрезков гипотенузы.


Ответ:

2.

Найдите площадь треугольника АВС, если АС=3, ВС=4, а медианы, проведенные из вершин А и В, перпендикулярны.




Алгебраический метод

О – точка пересечения медиан. Рассмотреть подобие треугольников А1ОВ1 и АОВ с коэффициентом подобия . Обозначить А1О=х, В1О=у. Применить теорему Пифагора для треуг-ов А1ОВ и В1ОА. Их полученной системы найти х и у. Затем найти АВ.


Ответ:

3

В треугольнике АВС угол А равен α, сторона ВС равна а, Н - точка пересечения высот. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВСН



Метод подсчета углов

На рисунке следует обозначить высоты треугольника BB1 и СС1.


Вопросы: Чему равны углы четырехугольника AB1HC1? Как найти угол BHC? Как формулируется обобщенная теорема синусов для треугольника BHC?
Вообще в связи с этой задачей можно сформулировать несколько задач, связанных с ортоцентром треугольника:
Доказать, что четырехугольники AB1HC1, CA1HB1, BC1HA1 вписанные.
Доказать, что ортоцентр H треугольника при симметрии относительно его сторон отображается на описанную около треугольника окружность

Н – точка пересечения высот. Если угол ВАС=. Тогда угол ВНС=1800-. Из вписанного треугольника ВНС найти .

Ответ:


4

В треугольнике угол А равен α, сторона ВС равна а, К - точка пересечения биссектрис. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВКС.




Метод подсчета углов

Вопросы: Как найти угол между биссектрисами, противолежащий стороне треугольника? Как формулируется обобщенная теорема синусов? Вспомните формулы приведения.

К- центр вписанной в треугольник АВС окружности. Пусть Тогда

Тогда



5

Боковая сторона АВ трапеции АBCD равна l, а расстояние от середины CD до прямой AB равно m. Найти площадь трапеции.




Метод дополнительных построений

Вопросы: Как связаны площадь треугольника ABF и площади трапеции? Как найти высоту треугольника ABF? (Или, если Вы используете подобие треугольников AKM и AFB, как связаны площади треугольников AKM и AFB?)

КН АВ, значит, КН=m. .

Из равенства треугольников CFK и DAK следует, что . Тогда .


6

В трапеции ABCD биссектриса угла А пересекает боковую сторону ВС в точке Е. Найдите площадь треугольника АВЕ. если площадь трапеции равна S, АВ=а, АD=b, СD=с (с



Метод подобия

Вопросы: Как найти высоту трапеции из исходных данных? Что можно сказать о треугольниках ABE и CEF? Как их высоты связаны с высотой трапеции?

Треугольник ADF равнобедренный. Тогда CF=b-c. Выразить высоту трапеции через известные величины, рассмотреть равенство отношений высот подобных треугольников (высоту одного треуг. рассмотреть как разность высоты трапеции и высоты другого треугольника) и соответствующих сторон. Отсюда найти высоту треугольника АВЕ.

Ответ:


7

В треугольнике АВС, площадь которого равна S, биссектриса СЕ и медиана BD пересекаются в точке F. Найдите площадь четырехугольника ADFE, если ВС=а, АС=b.




Метод площадей

(отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты, равно отношению сторон, к которым эти высоты проведены).

Вопросы: В каком отношении биссектриса CE делит медиану BD? Как относятся площади треугольников BFC и FCD? Какую часть составляет площадь треугольника CFD от площади исходного треугольника? Как относятся площади треугольников BEC и AEC?

Медиана ВD делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Применить свойство биссектрисы:

Выразить в этом отношении SBFCчерез S и SDFC и найти эту площадь.



. Аналогично предыдущему пункту найти площадь АСЕ. Площадь ADFE найти как разность площадей треугольников ACE и CFD.

Ответ:



8

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке E. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника АЕD равна 9, а точка E делит одну из диагоналей в отношении 1:3.




Метод подобия

Здесь стоит начала доказать следующие факты:


а) площади треугольников, примыкающих к боковым сторонам трапеции равны;
б) если трапеция поделена диагоналями на 4 части и площади треугольников, примыкающих к основаниям, равны S1 и S2, соответственно, то площадь треугольника, примыкающего к боковой стороне равна .
Вопросы: К какой стороне трапеции прилежит треугольник AED? Как связаны треугольники, примыкающие к основаниям трапеции? Если треугольник AED примыкает к боковой стороне трапеции, то вопрос: как найти площади треугольников, примыкающих к основаниям?

Рассмотреть три случая расположения треугольника AED. Ввести переменную х для части диагонали, другую часть, как произведение коэффициента подобия и х. Рассмотреть отношение площадей подобных фигур.

Ответ: 16; 144; 48


9

На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD, площадь которого равна 1, взяты точки К∈АВ, L∈BC, M∈CD, N∈DA. При этом АК:КВ=2, ВL:LC=1:3, CM:MD=1, DN:NA=1:5. Найдите площадь шестиугольника AKLCMN.




Указание.

Использовать свойство:

если ВМ:ВС=а, ВК:ВА=с, то SBKM=acSBAC

Тогда:

Сложить эти площади и найти площадь шестиугольника как разность площадей.



Ответ:

10

Найдите площадь общей части двух ромбов, диагонали которых равны 2 и 3, а один из ромбов получен из другого повотором на 900 вокруг его центра.




Вопросы: Какая фигура получается в пересечении двух ромбов? Какими свойствами симметрии она обладает? Какую функцию в угле AOB играет отрезок OF? Как найти площадь треугольника BOF? Как найти высоту треугольника BOF и его основание BF?
Доказать равенство треугольников ALF и MBF. Тогда OF – биссектриса. Использовать свойство биссектрисы и получить . Использовать свойство (задача 10) и найти SAFL. Найти искомую площадь как разность площадей.

страница 1


Смотрите также:





     

скачать файл




 



 

 
 

 

 
   E-mail:
   © zaeto.ru, 2020